corey01

Прiятель далъ мне попробовать платный ChatGPT-5, и я задалъ богомерзкому ИИ задачку, не очень простую, но вродѣ и не слишкомъ сложную.

Нужно доказать, что въ System F типъ T = ∀X. ((X → X) → P) → Q эквивалентенъ типу P → Q. Здѣсь P, Q какiе-то произвольные, но фиксированные типы.

∀X. ((X → X) → P) → Q  ≅  P → Q

Интуицiя въ томъ, что функцiю типа Т можно написать только однимъ способомъ:

f :: ((x -> x) -> P) -> Q
f k = h (k id)   -- гдѣ h : P -> Q это какая-то заданная функцiя.

Мы не можемъ подставить въ функцiю k что-либо, кромѣ identity function, потому что мы не можемъ написать кодъ никакой другой функцiи типа x -> x для совершенно неизвѣстнаго типа "x".

Но это лишь нестрогая интуицiя. Для строгости, нужно построить изоморфизмъ, скажемъ такъ:

fromT :: (forall x. ((x -> x) -> P) -> Q) -> P -> Q
fromT t = ...

toT :: (P -> Q) -> ((x -> x) -> P) -> Q
toT h = \k -> h (k id)

и доказать, что "fromT" и "toT" являются обратными другъ другу функцiями.

Какъ обычно бываетъ въ такихъ ситуацiяхъ, доказательство очень простое въ одну сторону: fromT(toT(h)) = h. Но въ другую сторону, toT(fromT(t)) = t, доказательство возможно лишь въ предположенiи, что функцiя t :: Т удовлетворяетъ своему закону параметрической естественности. (Каковой законъ вообще-то довольно длинный и запутанный, пользоваться имъ сложно.)

Я потратилъ въ совокупности нѣсколько часовъ на эту задачу, но такъ и не нашелъ строгаго доказательства. Поэтому я рѣшилъ спросить у ИИ.
( Read more... )

По поводу, является ли ИИ человѣкомъ, два основныхъ мненiя —

1) ИИ принципiально не отличается от человѣка.

2) Цѣнность человѣка гораздо выше и несравнима съ цѣнностью компьютерной программы, которую можно стереть или перезаписать безъ проблемъ.


Здѣсь видно подходъ, позволяющiй отвѣтить на этотъ вопросъ съ практической точки зрѣнiя.
( Read more... )

The usual story is that a functor may have several fixpoints (solutions X of the equation X = F X), and one of those solutions is the least fixpoint, another is the greatest fixpoint.

The equation X = F X is understood in the sense that the types X and F X are isomorphic, and there exist two functions that are each other's inverses:

fix : F X → X
unfix : X → F X

This makes X both an F-algebra and an F-coalgebra, with the additional conditions:

 unfix . fix = id
 fix . unfix = id

I'm trying to understand if there is an easy way to see why the least fixpoint is "smaller" than the greatest fixpoint.

Denote L = least fixpoint and G = greatest fixpoint. So, L and G are some types such that L = F L, G = F G. There may be other fixpoints X such that X = F X but X is not isomorphic to L or G. What else do we know about L, G, and X?

( Read more... )